中学技術【2進数と10進数】0と1のしくみと変換のしかたをわかりやすく解説

はじめに

「2進数の1011を、10進数に直しなさい」。
テストでそう出されたとき、手が止まってしまったことはありませんか。
あるいは、なんとなく答えは出せるけれど、どうしてそうなるのかまでは説明できない。
情報の分野でつまずきやすいのが、この2進数のところです。

でも、安心してください。
2進数は、まったく新しい難しいしくみではありません。
あなたがふだん使っている10進数と、考え方はまったく同じなんです。
違うのは、使う数字が0と1の二つしかない、というただ一点だけ。
そこさえつかめてしまえば、変換の計算も丸暗記ではなくなりますよ。

この記事では、まず「なぜコンピュータは0と1なのか」から始めます。
次に、2進数と10進数を行き来する二つの方法を、例題つきで確かめます。
位の重みをたす方法と、2で割ってあまりを読む方法ですね。
最後に、ビットという単位と、けたが増えると何通り表せるのかを整理します。
8ビットで256通り、という定期テストの頻出ポイントもここに出てきます。
授業を休んでしまった人も、テスト前にもう一度確かめたい人も、この記事だけで追いつけるように書きました。
途中に例題を二つ置いてありますので、ぜひ手を止めて、ノートに書きながら読んでみてくださいね。

2進数を3つの視点で整理する

2進数の学習は、「しくみ」「変換」「単位」の3つに分けると迷わなくなります。
しくみは、0と1の二つしか使わず、位の重みが右から2倍ずつ増えるという決まりのこと。
変換は、2進数から10進数へは重みのたし算、10進数から2進数へは2で割ってあまりを読む、という二つの手順です。
単位は、1けたが1ビット、8ビットで1バイト、そして8ビットなら256通りという関係ですね。
この順番で追いかけると、テストでどんな聞かれ方をしても、自分で組み立てられるようになりますよ。

ポイント1：0と1で数を表すしくみ

まずは、2進数がどういう決まりでできているかを整理します。
ここを式ではなく、しくみとして分かっておくことが大切です。
2進数は特別なルールではなく、10進数の「10」が「2」に変わっただけの表し方です。

なぜコンピュータは0と1なのか

10進数と2進数は、位の重みが違うだけ

ここで、ふだん使っている10進数を思い出してみましょう。
使う数字は0から9までの十種類で、9の次で位が上がります。
そして位の重みは、一の位、十の位、百の位と、右から左へ10倍ずつ増えていきますよね。
2進数も、考え方はまったく同じです。
違うのは、使う数字が0と1の二つしかないという一点だけ。
1の次で位が上がり、位の重みは右から左へ2倍ずつ増えていきます。
つまり、1、2、4、8、16という並びになるわけですね。
まったく新しいルールを覚えるのではなく、10だったところが2に変わるだけだと考えてください。

2進数の数え方と、位の重み表

実際に数えてみると、しくみがはっきりします。
0、1ときたら、次はもう使える数字がありません。
そこで位が上がって、10と書きます。
これは「じゅう」ではなく、10進数の2を表しています。
読むときも「イチ、ゼロ」と、けたごとに読みましょう。
その次は11で3、100で4となります。
そして計算のときに必ず用意してほしいのが、位の重み表です。
右のけたから順に、1、2、4、8、16、32、64、128と書き出しておくものですね。
この一行を先に書くだけで、これから見ていく変換の計算がぐっと楽になりますよ。

ポイント2：2進数と10進数を行き来する

しくみが分かったら、次は変換です。
テストで問われるのは、ほとんどがこの行き来のところですね。
10進数にするなら重みのたし算、2進数にするなら2で割ってあまりを読む。この二つだけです。

2進数から10進数へは、重みをたすだけ

10進数から2進数へは、2で割ってあまりを読む

逆向きの変換も見ておきましょう。
10進数を2進数に直すときは、その数を2で割り続けます。
割るたびに出てくるあまりを、横に書きとめていってください。
あまりは必ず0か1のどちらかになりますね。
そして商が0になったら、そこで計算は終わりです。
最後に、書きとめたあまりを下から上へ読み上げます。
この「下から読む」というところが、いちばん間違えやすいポイントなんです。
上から読んでしまうと、まったく違う数になってしまいます。
読む向きを紙に矢印で書き込んでおくと、うっかりを防げますよ。

例題で、二つの向きを確かめる

では、実際に解いてみましょう。
一つ目は、2進数の1011を10進数に直す問題です。
重みは左から8、4、2、1。
1が立っているのは8と2と1のけたですから、8たす2たす1で、答えは11になります。
二つ目は、10進数の13を2進数に直す問題です。
13を2で割ると、商が6であまりが1。
6を2で割ると、商が3であまりが0。
3を2で割ると、商が1であまりが1。
1を2で割ると、商が0であまりが1ですね。
あまりを下から読んで、答えは1101です。
8たす4たす1で13ですから、ちゃんと合っていますよ。

ポイント3：ビットと、表せる数の関係

最後は、けたの数を単位として扱う考え方です。
ここはデータ量の計算にもそのままつながる、大事なところですよ。
けたが1つ増えるたびに、表せる数はちょうど2倍になります。

2進数の1けたが、1ビット

けたが1つ増えると、表せる数は2倍になる

次に、けたの数と、表せる数の関係を見ていきます。
1ビットなら、0と1の二通りを表せますね。
2ビットなら、00、01、10、11の四通り。
3ビットなら八通りです。
お気づきでしょうか。
けたが一つ増えるたびに、表せる数はちょうど2倍になっています。
ですからnビットあれば、2をn回かけた通り数を表せる、という関係になるわけです。
これを使うと、8ビットのときは2を八回かけて256通り。
数でいえば、0から255までを表せるということですね。
写真の色の濃さや文字の番号も、この範囲で表されています。

つまずきやすいところと、テスト前の確認

最後に、間違えやすいところをまとめておきます。
一つ目は、2で割ったあまりを上から読んでしまうこと。
必ず下から上へ読んでくださいね。
二つ目は、0のけたを書き落として、けた数がずれてしまうことです。
三つ目は、8けたでそろえなさいと指示があったのに、そろえないまま答えてしまうこと。
左を0で埋めても値は変わりませんから、指示があれば必ずそろえましょう。
テスト前は、まず位の重み表を、手が覚えるまで書くこと。
そして例題は答えだけでなく、式まで書いて確かめてくださいね。
手が自然に動くようになっていれば、本番であわてることはありませんよ。

おわりに

今日たどってきたのは、しくみ・変換・単位の3つでした。
2進数は0と1だけを使い、位の重みは右から2倍ずつ増えていく。
10進数に直すときは、1が立っているけたの重みをたし算する。
2進数に直すときは、2で割ってあまりを下から読む。
そして1けたが1ビット、8ビットで1バイト、8ビットなら256通りでしたね。

最後に一つだけお願いです。
記事の中に出てきた例題を、もう一度ノートで解き直してみてください。
2進数の1011と、10進数の13。
それぞれ答えだけでなく、位の重み表やわり算の筆算まで書けるでしょうか。
読んで分かった気になるのと、自分の手で書けるのとでは、テストでの手ごたえがまるで変わりますよ。

ご視聴ありがとうございました。
この記事の内容を動画でも解説しています。
ぜひご覧ください。

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